Rationale Zahlen/Z^3/Injektive Abbildung/Aufgabe/Lösung

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Seien und aus gegeben, die unter auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist

Durch beidseitige Multiplikation mit mit hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist

und die Abbildung ist injektiv.

Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise nicht im Bild liegt. Wäre nämlich

so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.
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