Rationale Zahlen/Z^3/Injektive Abbildung/Aufgabe/Lösung

Seien ${}(m,n,k)$ und ${}(a,b,c)$ aus ${}\mathbb {Z} ^{3}$ gegeben, die unter ${}\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden. Dann ist

${}2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}=2^{a}\cdot 3^{b}\cdot 5^{c}\,.$

Durch beidseitige Multiplikation mit ${}2^{r}\cdot 3^{s}\cdot 5^{t}$ mit ${}r,s,t$ hinreichend groß kann man erreichen, dass alle Exponenten positiv sind. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und da ${}2,3,5$ Primzahlen sind, folgt, dass die Exponenten links und rechts übereinstimmen. Also ist

${}(m,n,k)=(a,b,c)\,$

und die Abbildung ist injektiv.

Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise ${}7$ nicht im Bild liegt. Wäre nämlich

${}7=2^{m}\cdot 3^{n}\cdot 5^{k}\,,$

so könnte man die negativen Exponenten der rechten Seite nach links bringen und es würde sich ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung ergeben.

Zur gelösten Aufgabe