Rationale Zahlen/Zahlenstrahl/Multiplikation/Korrektheit/Aufgabe/Lösung

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  1. Auf dem positiven Zahlenstrahl seien die Punkte gegeben. Nach dem geometrischen Verfahren der Multiplikation markiert man auf einem Hilfsstrahl (beispielsweise der positiven -Achse) die entsprechenden Punkte und , die wir mit und bezeichnen. Man verbindet die des Hilfsstrahls mit durch eine Gerade und zeichnet dazu parallel die Geraden durch . Der Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Zahlenstrahl ist das Ergebnis der geometrischen Multiplikation, also . Wir beweisen durch Induktion nach , dass die geometrische Mutliplikation mit der algebraischen Multiplikation übereinstimmt. Der Induktionsanfang für ist klar, da hier die parallele Gerade die Gerade selbst ist. Sei die Aussage nun bis einschließlich bewiesen. Wir vergleichen die geometrische Konstruktion zur Berechnung von und von . Beide Konstruktionen verwenden Geraden, die parallel zur Geraden durch und sind, die eine durch , die andere durch . Wir zeichnen die Gerade durch , die parallel zum Hilfsstrahl ist. Diese vier Geraden bilden ein Parallelogramm, und da der Abstand zwischen und gleich ist, gilt dies auch für die gegenüberliegende Seite, die an anliegt. Wir bezeichnen den Schnittpunkt von und mit . Aufgrund der Parallelitäten stimmen in den Dreiecken und die Winkel überein. Da auch die eine Seite übereinstimmt, sind die beiden Dreiecke kongruent. Somit ist der Abstand zwischen und gleich . Daher ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
  2. Ähnlich wie Teil 1.
  3. Es sei

    und

    Die Gleichheit

    kann man erweisen, indem man die Gleichheit begründet, wenn man beide Zahlen mit multipliziert. Diese beruht unter Verwendung von Teil 2 auf

Zur gelösten Aufgabe