Raum/Ebenen/Punkt auf zweien/1/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

${}5x-4y+3z=2\,,$

${}7x-5y+6z=3\,,$

${}2x-y+4z=5\,.$

Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist ${}E\cap F\cap G$. Es ist ${}-7I+5II$ gleich

${}3y+9z=1\,$

und ${}-2I+5III$ gleich

${}3y+14z=21\,.$

Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt

${}5z=20\,,$

also

${}z=4\,.$

Somit ist

${}y=-{\frac {35}{3}}\,$

und

${}x={\frac {1}{5}}{\left(2+4y-3z\right)}={\frac {1}{5}}{\left(-10-4\cdot {\frac {35}{3}}\right)}=-2-4\cdot {\frac {7}{3}}=-{\frac {34}{3}}\,.$

Es ist also

${}E\cap F\cap G=\left\{\left(-{\frac {34}{3}},\,-{\frac {35}{3}},\,4\right)\right\}\,.$

Der Durchschnitt ${}E\cap F$ wird durch das lineare Gleichungssystem

${}5x-4y+3z=2\,,$

${}3y+9z=1\,$

beschrieben. Die Lösungsmenge ist

${}L=E\cap F={\left\{\left({\frac {2}{3}}-3z,\,{\frac {1}{3}}-3z,\,z\right)\mid z\in \mathbb {Q} \right\}}\,.$

Für

${}z=4\,$

ergibt sich dabei der einzige Punkt aus ${}E\cap F\cap G$. Somit ist insgesamt

${}E\cap F\setminus E\cap F\cap G={\left\{\left({\frac {2}{3}}-3z,\,{\frac {1}{3}}-3z,\,z\right)\mid z\in \mathbb {Q} ,\,z\neq 4\right\}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe