Wir betrachten die Menge
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Es handelt sich also um diejenige Teilmenge des
, die alle Punkte mit den Koordinaten
enthält, die die Bedingung
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erfüllen. Da diese Bedingung für jeden Punkt
eine klare Bedeutung besitzt, also wahr oder falsch sein kann, handelt es sich um eine wohldefinierte Teilmenge. Beispielsweise gehören die Punkte
und
dazu, der Punkt
dagegen nicht. Wenn man für einen Punkt
testen soll, ob er zu
gehört, so überprüft man einfach die Bedingung. In dieser Hinsicht ist also die gegebene Beschreibung von
sehr gut. Wenn man aber beispielsweise eine gute Übersicht über
als Ganzes bekommen möchte, so ist die Beschreibung direkt nicht sehr aussagekräftig. Wir behaupten, dass
mit der Menge
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übereinstimmt. In dieser zweiten Beschreibung wird die Menge als die Menge aller Elemente beschrieben, die auf eine gewisse Art gebaut werden können, nämlich als Linearkombination der beiden Punkte
und
mit beliebigen reellen Koeffizienten. Der Vorteil dieser Beschreibung ist, dass man sofort einen Überblick über alle Elemente hat und beispielsweise sieht, dass es unendlich viele Elemente darin gibt. Dagegen ist es bei dieser Beschreibung schwieriger zu entscheiden, ob ein gegebener Punkt dazu gehört oder nicht.
Zum Nachweise, dass die beiden Mengen übereinstimmen, müssen wir
und
zeigen. Es sei hierzu
.
Dann ist
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wobei die Gleichheit in den ersten beiden Komponenten unmittelbar erfüllt ist und die Gleichheit in der dritten Komponenten eine Umformung der Ausgangsgleichung
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ist. Mit
und
sieht man, dass
ist. Es sei umgekehrt
,
d.h. es gibt eine Darstellung
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mit gewissen reellen Zahlen
.
Um zu zeigen, dass dieser Punkt zu
gehört, müssen wir zeigen, dass er die
definierende Bedingung erfüllt. Dies ist wegen
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der Fall.