Rechteck/Flächeninhalt/Ganz und rational/Aufgabe/Lösung

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  1. Wir betrachten Quadrate mit Seitenlänge . Wir legen -mal jeweils Quadrate in eine Reihe hintereinander und erhalten dadurch Rechtecke, die jeweils die Seitenlängen und haben und aus Quadraten bestehen. Diese Rechtecke setzt man derart zusammen, dass die -Seiten der Rechtecke aneinander liegen. Dadurch entsteht insgesamt ein Rechteck mit den Seitenlängen und . Da alle Quadrate verbraucht sind, ist der Flächeninhalt gleich . Man verwendet dabei, dass der Flächeninhalt der Quadrate sich nicht ändert, wenn sie ihre Lage in der Ebene ändern, und dass die Überschneidung der Kanten, die beim Zusammenlegen auftritt, für den Flächeninhalt unerheblich ist.
  2. Es sei unter Verwendung eines Hauptnenners und . Es ist

    Wie in Teil 1 können wir das Rechteck mit den Seitenlängen und mit Quadraten der Seitenlänge zusammensetzen. Daher ist der Flächeninhalt des Rechtecks das -Vielfache des Flächeninhaltes des Quadrates mit der Seitenlänge . Wenn wir solche Quadrate haben, so können wir diese zum Einheitsquadrat zusammen setzen. Daher muss wiederum der Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge gleich sein. Der Flächeninhalt des Ausgangsrechtecks ist also

    und stimmt mit dem Produkt der Seitenlängen überein.

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