Reelle Ebene/Polarkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel

Ein Winkel ${}\alpha$ und eine positive reelle Zahl ${}r$ definieren einen eindeutigen Punkt

${}P=(x,y)=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )=r(\cos \alpha ,\sin \alpha )\,$

in der reellen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$. Dabei bedeutet ${}r$ den Abstand des Punktes ${}P$ vom Nullpunkt ${}(0,0)$ und ${}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ bedeutet den Durchstoßungspunkt der durch ${}P$ definierten Halbgeraden mit dem Einheitskreis. Jeder Punkt ${}P=(x,y)\neq 0$ besitzt eine eindeutige Darstellung mit ${}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und mit einem Winkel ${}\alpha$, der je nach dem gewählten Winkelmaß geeignet zu wählen ist, also beispielsweise aus ${}[0,2\pi [$ ist (der Nullpunkt wird durch $r=0$ und einen beliebigen Winkel repräsentiert). Die Komponenten ${}(r,\alpha )$ heißen die Polarkoordinaten von ${}P$.