Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Nach Fakt ist

   ${}{\begin{aligned}b^{x+x'}&=\exp \left((x+x')\ln b\right)\\&=\exp(x\ln b+x'\ln b)\\&=\exp \left(x\ln b\right)\cdot \exp \left(x'\ln b\right)\\&=b^{x}\cdot b^{x'}.\end{aligned}}$

2. Nach (1) ist

   ${}b^{x}\cdot b^{-x}=b^{x-x}=b^{0}=\exp \left(0\right)=1\,,$

   deshalb sind ${}b^{x}$ und ${}b^{-x}$ invers zueinander.

3. Mit ${}b>1$ und ${}x>0$ ist

   ${}x\ln b>0\,$

   und damit ist nach Fakt  (5) ${}b^{x}=\exp x\ln b>1$.

4. Wird ähnlich wie (3) begründet.
5. Sei ${}b>1$, dann ist ${}\ln b>0$. Aus ${}x'>x$ folgt dann ${}x'\ln b>x\ln b$ und somit ergibt sich

   ${}b^{x'}=\exp \left(x'\ln b\right)>\exp \left(x\ln b\right)=b^{x}\,$

   aus Fakt  (6).

6. Wird ähnlich wie (5) bewiesen.
7. Wegen

   ${}b^{x}=\exp \left(x\ln b\right)\,$

   ist ${}\ln b^{x}=x\ln b$ und daher ist

   ${}{\begin{aligned}(b^{x})^{x'}&=\exp \left(x'\cdot \ln \left(b^{x}\right)\right)\\&=\exp \left(x'\cdot x\cdot \ln \left(b\right)\right)\\&=b^{x\cdot x'}.\end{aligned}}$

8. Nach Fakt ist

   ${}{\begin{aligned}(ab)^{x}&=\exp \left(x\ln \left(ab\right)\right)\\&=\exp \left(x(\ln a+\ln b)\right)\\&=\exp \left(x\ln a+x\ln b\right)\\&=\exp \left(x\ln a\right)\cdot \exp \left(x\ln b\right)\\&=a^{x}\cdot b^{x}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage