Reelle Exponentialfunktion/Tangenten/Schnittpunkt/Aufgabe/Lösung

1. Die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle ${}0$ besitzt den Wert ${}1$ und somit ist die Tangente durch ${}(0,1)$ gleich ${}x+1$.
2. Die Geraden durch den Nullpunkt haben die Form ${}ax$. Da es eine Tangente der Exponentialfunktion in einem Punkt ${}(z,e^{z})$ sein soll, ist einerseits

   ${}a={\frac {e^{z}}{z}}\,$

   und andererseits, da die Steigung der Tangente die Ableitung ist,

   ${}a=e^{z}\,.$

   Also ist

   ${}{\frac {e^{z}}{z}}=e^{z}\,$

   und daher ${}z=1$ und die Tangente ist durch ${}ex$ gegeben.

3. Bie Bedingung

   ${}x+1=ex\,$

   führt auf

   ${}(e-1)x=1\,$

   und

   ${}x={\frac {1}{e-1}}\,.$

   Der Schnittpunkt ist also

   $\left({\frac {1}{e-1}},\,{\frac {e}{e-1}}\right).$

Zur gelösten Aufgabe