Reelle Exponentialfunktionen/Wachstum/Bemerkung

Bei einer reellen Exponentialfunktion

$y(x)=a^x$

gilt nach Fakt die Beziehung

$y^{\prime }=(\ln a)y,$

es besteht also ein proportionaler Zusammenhang zwischen der Funktion $y$ und ihrer Ableitung $y^{\prime }$ mit dem Proportionalitätsfaktor $\ln a$. Dies gilt auch dann, wenn $a^x$ mit einer Konstanten multipliziert wird. Wenn man unter $y$ eine von der Zeit $x$ abhängige Größe versteht, so beschreibt $y^{\prime }(x)$ das momentane Wachstum zu einem Zeitpunkt. Die Gleichung  $y^{\prime }=(\ln a)y$  bedeutet dann, dass das momentane Wachstum in jedem Zeitpunkt proportional zur momentanen Größe ist. Ein solches Wachstum (bzw. Schrumpfung bei $a<1$ bzw. $\ln a<0$) kommt in der Natur bei einer Population dann vor, wenn es keine nennenswerte Nahrungskonkurrenz und vernachlässigbare Sterberaten gibt (die Anzahl der Mäuse ist dann proportional zur Anzahl der geborenen Mäuse). Eine Bedingung der Form

$y^{\prime }=by$

ist ein Beispiel für eine Differentialgleichung. Dies ist eine Gleichung für eine Funktion, die Bedingungen an die Ableitung der Funktion ausdrückt. Eine Lösung einer solchen Differentialgleichung ist eine differenzierbare Funktion, die diese Ableitungsbedingung erfüllt. Die Lösungen der zuletzt formulierten Differentialgleichung sind die Funktionen

$y(x)=c{e}^{bx}.$