Reelle Folge/Konvergiert/Häufungspunkt und beschränkt/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit Grenzwert ${}x$. Dann ist die Folge nach Fakt beschränkt. Der Grenzwert ${}x$ ist insbesondere ein Häufungspunkt. Nehmen wir an, es würde noch einen weiteren Häufungspunkt ${}y\neq x$ geben. Für ${}\epsilon ={\frac {\vert {x-y}\vert }{3}}$ liegen dann aber alle bis auf endlich viele Folgenglieder innerhalb der ${}\epsilon$-Umgebung (also $]x-\epsilon ,x+\epsilon [$) von ${}x$, und daher kann es innerhalb der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}y$ nur endlich viele Glieder geben.

Es sei nun die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt mit dem einzigen Häufungspunkt ${}x$. Wir behaupten, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert und nehmen an, dass sie nicht gegen ${}x$ konvergiert. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es außerhalb der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}x$ unendlich viele Folgenglieder gibt. Dies bedeutet, dass es eine Teilfolge ${}x_{n_{i}}$ gibt, die ganz außerhalb von $]x-\epsilon ,x+\epsilon [$ verläuft. Mit der Folge ist auch diese Teilfolge beschränkt. Daher gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (eine konvergente Teilfolge und)

einen Häufungspunkt ${}y$ der Folge ${}x_{n_{i}}$, der auch ein Häufungspunkt von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist. Dabei ist ${}x\neq y$, da es in der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}x$ überhaupt keine Folgenglieder der Teilfolge ${}x_{n_{i}}$ gibt.

Zur gelösten Aufgabe