Reelle Folge/Limes inferior gleich superior/Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}{\overline {\mathbb {R} }}$ . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn

{}\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left({\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\right)}\,.