Reelle Folge/Stammbrüche/Stetig und Konvergent/Funktionsgrenzwert/Aufgabe

Es sei

${}T={\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\subseteq \mathbb {R} \,$

die Menge der Stammbrüche und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Es sei ${}b\in \mathbb {R}$ und ${}D=T\cup \{0\}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Folge konvergiert gegen ${}b$.
2. Die Funktion

   $f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}f{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$

   besitzt den Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,f(x)=b$.

3. Die Funktion

   ${\tilde {f}}\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   mit

   ${}{\tilde {f}}{\left({\frac {1}{n}}\right)}=x_{n}\,$

   und ${}{\tilde {f}}(0)=b$ ist stetig.

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