Reelle Funktion/Exponentialgleichung/Ableitung/Aufgabe/Lösung

Bei  ${}f(0)=0$  ist  ${}f(z)=f(z+0)=f(z)f(0)=0$,  sodass die Nullfunktion vorliegt, die die angegebene Ableitungseigenschaft (mit einem beliebigen ${}\lambda$) erfüllt. Es sei also  ${}f(0)\neq 0$.  Dann ist  ${}f(0)=1$  wegen  ${}f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$.  Der Differenzenquotient ist

${}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}={\frac {f(z)f(h)-f(z)}{h}}=f(z){\frac {f(h)-1}{h}}=f(z){\frac {f(h)-f(0)}{h}}\,.$

Der rechte Faktor ist der Differenzenquotient im Nullpunkt. Dieser konvergiert nach Voraussetzung für ${}h\rightarrow 0$ gegen ${}f'(0)$. Also konvergiert der Differenzenquotient gegen ${}f(z)f'(0)$ und die Ableitungseigenschaft ist mit  ${}\lambda =f'(0)$ 

erfüllt.

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