Es sei zunächst
und
vorgegeben. Dann kann man
setzen, denn aus
folgt wegen
oder
auch
.
Es sei nun
Wir zeigen, dass man für
kein
mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu
vorgegeben und sei
.
Wenn
rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl
,
wenn
irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl
Im ersten Fall gilt
-
![{\displaystyle {}\vert {f(x)-f(u)}\vert =\vert {x}\vert >\epsilon \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c9afe4725334c50144b0e4b94f76c8b46de9b3)
im zweiten Fall gilt
-
![{\displaystyle {}\vert {f(x)-f(q)}\vert =\vert {q}\vert >\epsilon \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dbbca420603399dcb63d633498270e9ba74cd6f)
so dass in beiden Fällen die
![{\displaystyle {}\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516c56ea2fd0b8a3f1cf1de493c54256310e3443)
-Umgebung von
![{\displaystyle {}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3cef7035ba3d8882f7b3f26329ab9fb9641f5ab)
nicht in die
![{\displaystyle {}\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e926c19fc6100233a9c013756c992a389efcc7d)
-Umgebung von
![{\displaystyle {}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366e90e77f09d2e614056f7b4ad4e9d08670c980)
abgebildet wird.