Reelle Funktion/Identisch auf Q/Sonst 0/Stetig im Nullpunkt/Aufgabe/Lösung

Es sei zunächst  ${}x=0$  und  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Dann kann man  ${}\delta =\epsilon$  setzen, denn aus  ${}\vert {u}\vert \leq \epsilon$  folgt wegen  ${}f(x)=0$  oder  ${}f(x)=x$  auch  ${}\vert {f(u)}\vert \leq \epsilon$.  Es sei nun  ${}x\neq 0$  Wir zeigen, dass man für  ${}\epsilon =\vert {\frac {x}{2}}\vert >0$  kein  ${}\delta >0$  mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu  ${}\delta >0$  vorgegeben und sei  ${}c={\min {\left(\delta ,\epsilon \right)}}$.  Wenn ${}x$ rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl  ${}u\in {]x-c,x+c[}$,  wenn ${}x$ irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl  ${}q\in {]x-c,x+c[}$  Im ersten Fall gilt

${}\vert {f(x)-f(u)}\vert =\vert {x}\vert >\epsilon \,,$

im zweiten Fall gilt

${}\vert {f(x)-f(q)}\vert =\vert {q}\vert >\epsilon \,,$

sodass in beiden Fällen die ${}\delta$-Umgebung von ${}x$ nicht in die ${}\epsilon$-Umgebung von ${}f(x)$ abgebildet wird.

Zur gelösten Aufgabe