Reelle Funktion/Identisch auf Q/Sonst 0/Stetig im Nullpunkt/Aufgabe/Lösung

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Es sei zunächst und vorgegeben. Dann kann man setzen, denn aus folgt wegen oder auch . Es sei nun Wir zeigen, dass man für kein mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Es sei hierzu vorgegeben und sei . Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl , wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl Im ersten Fall gilt

im zweiten Fall gilt

so dass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.