Reelle Funktion/Identisch auf Q/Sonst 0/Stetig im Nullpunkt/Aufgabe/Lösung

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Sei zunächst und vorgegeben. Dann kann man setzen, denn aus folgt wegen oder auch . Sei nun . Wir zeigen, dass man für kein mit der Abschätzungseigenschaft für die Stetigkeit finden kann. Sei hierzu vorgegeben und sei . Wenn rational ist, so wählen wir eine irrationale Zahl , wenn irrational ist, so wählen wir eine rationale Zahl . Im ersten Fall gilt

im zweiten Fall gilt

so dass in beiden Fällen die -Umgebung von nicht in die -Umgebung von abgebildet wird.