Reelle Funktion/Monoton wachsend/Konvex/Umkehrfunktion/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}c<d$ Elemente aus ${}J$ mit ${}c=f(a)$ und ${}d=f(b)$, ${}a<b$. Die verbindende Strecke ist ${}{\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {-cb+da}{d-c}}$, ${}y\in [c,d]$. Für ein solches ${}y$ ist

${}f^{-1}(y)\geq {\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {-cb+da}{d-c}}\,$

zu zeigen. Es sei

${}x=f^{-1}(y)\,.$

Wegen der Konvexität von ${}f$ gilt

${}f(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x+{\frac {-af(b)+bf(a)}{b-a}}={\frac {d-c}{b-a}}x+{\frac {-ad+bc}{b-a}}\,.$

Multiplikation mit ${}{\frac {b-a}{d-c}}$ ergibt

${}{\frac {b-a}{d-c}}f(x)\leq x+{\frac {-ad+bc}{d-c}}\,$

und somit

${}f^{-1}(y)=x\geq {\frac {b-a}{d-c}}f(x)-{\frac {-ad+bc}{d-c}}={\frac {b-a}{d-c}}y+{\frac {ad-bc}{d-c}}\,$

wie behauptet.

Zur gelösten Aufgabe