Wir zeigen, dass das Quadrieren
-
an der Stelle
stetig ist. Es sei ein
vorgegeben, das wir als
annehmen dürfen. Wir müssen ein
finden, das die Eigenschaft besitzt: Wenn
-
![{\displaystyle {}\vert {x-7}\vert \leq \delta \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b954e0c05cba2f96c012c9c5919e8182aeb4db)
dann ist auch
-
![{\displaystyle {}\vert {x^{2}-7^{2}}\vert \leq \epsilon \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3c63870ed1f53090e44f205a76fac7ac79dac3)
also wenn
und
-nahe beieinander sind, so sind die beiden Funktionswerte
-nahe beieinander. Wenn man zu
eine Zahl
hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich
-
![{\displaystyle {}(7+\delta )^{2}=7^{2}+14\delta +\delta ^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0e2d8a54d04ff6bce9f5577fc2525fdea1d838)
und die Differenz zu
ist somit
. Insbesondere muss diese Differenz kleinergleich dem vorgegebenen
werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden
und
beide kleinergleich
sind. Dies legt die Wahl
-
![{\displaystyle {}\delta :={\frac {\epsilon }{28}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0091bdbfc204ab65b2274b0b2f69e1e875534a2a)
nahe. Es gelten dann in der Tat für
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![{\displaystyle {}\vert {x-7}\vert \leq \delta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282331c33426c4e7243888e074e013ee3169ebf9)
die Abschätzungen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {x^{2}-7^{2}}\vert &=\vert {x-7}\vert \cdot \vert {x+7}\vert \\&\leq \delta {\left(14+\delta \right)}\\&=14\delta +\delta ^{2}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f142645939931ee19af2e45df6efc9eebde5a28)