Reelle Funktion/Stetig/Quadrat/7/Beispiel

Wir zeigen, dass das Quadrieren

$ℝ⟶ℝ,x⟼x^2,$

an der Stelle $7$ stetig ist. Es sei ein  $ϵ>0$  vorgegeben, das wir als  $ϵ\le 1$  annehmen dürfen. Wir müssen ein  $\delta >0$  finden, das die Eigenschaft besitzt: Wenn

$|x-7|\le \delta ,$

dann ist auch

$|x^2-7^2|\le ϵ,$

also wenn $x$ und $7$ $\delta$-nahe beieinander sind, so sind die beiden Funktionswerte $ϵ$-nahe beieinander. Wenn man zu $7$ eine Zahl $\delta$ hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich

$(7+\delta {)}^2=7^2+14\delta +{\delta }^2,$

und die Differenz zu $7^2$ ist somit $14\delta +{\delta }^2$. Insbesondere muss diese Differenz kleinergleich dem vorgegebenen $ϵ$ werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden $14\delta$ und ${\delta }^2$ beide kleinergleich $ϵ/2$ sind. Dies legt die Wahl

$\delta :=\frac{ϵ}{28}$

nahe. Es gelten dann in der Tat für

$|x-7|\le \delta$

die Abschätzungen

$\begin{array}{cc}|x^2-7^2|& =|x-7|\cdot |x+7|\\ & \le \delta (14+\delta )\\ & =14\delta +{\delta }^2\\ & \le \frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ.\end{array}$