Reelle Funktion/Stetig/Quadrat/7/Beispiel

Wir zeigen, dass das Quadrieren

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

an der Stelle ${}7$ stetig ist. Es sei ein ${}\epsilon >0$ vorgegeben, das wir als ${}\epsilon \leq 1$ annehmen dürfen. Wir müssen ein ${}\delta >0$ finden, das die Eigenschaft besitzt: Wenn

${}\vert {x-7}\vert \leq \delta \,,$

dann ist auch

${}\vert {x^{2}-7^{2}}\vert \leq \epsilon \,,$

also wenn ${}x$ und ${}7$ ${}\delta$-nahe beieinander sind, so sind die beiden Funktionswerte ${}\epsilon$-nahe beieinander. Wenn man zu ${}7$ eine Zahl ${}\delta$ hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich

${}(7+\delta )^{2}=7^{2}+14\delta +\delta ^{2}\,,$

und die Differenz zu ${}7^{2}$ ist somit ${}14\delta +\delta ^{2}$. Insbesondere muss diese Differenz kleinergleich dem vorgegebenen ${}\epsilon$ werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden ${}14\delta$ und ${}\delta ^{2}$ beide kleinergleich ${}\epsilon /2$ sind. Dies legt die Wahl

${}\delta :={\frac {\epsilon }{28}}\,$

nahe. Es gelten dann in der Tat für

${}\vert {x-7}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {x^{2}-7^{2}}\vert &=\vert {x-7}\vert \cdot \vert {x+7}\vert \\&\leq \delta {\left(14+\delta \right)}\\&=14\delta +\delta ^{2}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$