Reelle Funktion/Stetig/Quadrat/Beispiel

Wir zeigen, dass das Quadrieren

$ℝ⟶ℝ,x⟼x^2,$

stetig ist. Es sei dazu  $a\in ℝ$  fixiert, wir zeigen die Stetigkeit im Punkt $a$. Es sei ein  $ϵ>0$  vorgegeben. Wir müssen ein  $\delta >0$  finden (bzw. die Existenz eines solchen $\delta$ nachweisen), das die Eigenschaft besitzt: Wenn

$|x-a|\le \delta ,$

dann ist auch

$|x^2-a^2|\le ϵ,$

also wenn $x$ und $a$ $\delta$-nahe sind, so sind die beiden Funktionswerte $ϵ$-nahe. Es ist klar, dass die Wahl von $\delta$ nicht nur von $ϵ$ abhängt, sondern auch von $a$. Wenn man nämlich zu $a$ eine Zahl $\delta$ hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich

$(a+\delta {)}^2=a^2+2a\delta +{\delta }^2,$

und die Differenz zu $a^2$ ist somit $2a\delta +{\delta }^2$. Insbesondere muss der Betrag dieser Differenz kleinergleich dem vorgegebenen $ϵ$ werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden $2a\delta$ und ${\delta }^2$ beide kleinergleich $ϵ/2$ sind. Von daher ist bei  $a>0$  und  $ϵ\le 1$  die Wahl

$\delta :=min(\frac{ϵ}{4a},\frac{ϵ}{2})$

naheliegend. Um alle Fälle zu erfassen, wählen wir

$\delta :=min(\frac{ϵ}{4|a|},\frac{ϵ}{2}),$

wobei der vordere Term bei  $a=0$  zu ignorieren ist. Es gelten dann in der Tat für

$|a-x|\le \delta$

die Abschätzungen

$\begin{array}{cc}|x^2-a^2|& =|x-a|\cdot |x+a|\\ & \le \delta (2|a|+\delta )\\ & =2|a|\delta +{\delta }^2\\ & \le \frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}\\ & =ϵ.\end{array}$