Reelle Funktion/Stetig/Quadrat/Beispiel

Wir zeigen, dass das Quadrieren

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

stetig ist. Es sei dazu  ${}a\in \mathbb {R}$  fixiert, wir zeigen die Stetigkeit im Punkt ${}a$. Es sei ein  ${}\epsilon >0$  vorgegeben. Wir müssen ein  ${}\delta >0$  finden (bzw. die Existenz eines solchen ${}\delta$ nachweisen), das die Eigenschaft besitzt: Wenn

${}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,,$

dann ist auch

${}\vert {x^{2}-a^{2}}\vert \leq \epsilon \,,$

also wenn ${}x$ und ${}a$ ${}\delta$-nahe sind, so sind die beiden Funktionswerte ${}\epsilon$-nahe. Es ist klar, dass die Wahl von ${}\delta$ nicht nur von ${}\epsilon$ abhängt, sondern auch von ${}a$. Wenn man nämlich zu ${}a$ eine Zahl ${}\delta$ hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich

${}(a+\delta )^{2}=a^{2}+2a\delta +\delta ^{2}\,,$

und die Differenz zu ${}a^{2}$ ist somit ${}2a\delta +\delta ^{2}$. Insbesondere muss der Betrag dieser Differenz kleinergleich dem vorgegebenen ${}\epsilon$ werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden ${}2a\delta$ und ${}\delta ^{2}$ beide kleinergleich ${}\epsilon /2$ sind. Von daher ist bei  ${}a>0$  und  ${}\epsilon \leq 1$  die Wahl

${}\delta :={\min {\left({\frac {\epsilon }{4a}},{\frac {\epsilon }{2}}\right)}}\,$

naheliegend. Um alle Fälle zu erfassen, wählen wir

${}\delta :={\min {\left({\frac {\epsilon }{4\vert {a}\vert }},{\frac {\epsilon }{2}}\right)}}\,,$

wobei der vordere Term bei  ${}a=0$  zu ignorieren ist. Es gelten dann in der Tat für

${}\vert {a-x}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {x^{2}-a^{2}}\vert &=\vert {x-a}\vert \cdot \vert {x+a}\vert \\&\leq \delta {\left(2\vert {a}\vert +\delta \right)}\\&=2\vert {a}\vert \delta +\delta ^{2}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$