Wir zeigen, dass das Quadrieren
-
stetig ist. Es sei dazu
fixiert, wir zeigen die Stetigkeit im Punkt
. Es sei ein
vorgegeben. Wir müssen ein
finden
(bzw. die Existenz eines solchen
nachweisen),
das die Eigenschaft besitzt: Wenn
-

dann ist auch
-

also wenn
und
-nahe sind, so sind die beiden Funktionswerte
-nahe. Es ist klar, dass die Wahl von
nicht nur von
abhängt, sondern auch von
. Wenn man nämlich zu
eine Zahl
hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich
-

und die Differenz zu
ist somit
. Insbesondere muss der Betrag dieser Differenz kleinergleich dem vorgegebenen
werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden
und
beide kleinergleich
sind. Von daher ist bei
und
die Wahl
-

naheliegend. Um alle Fälle zu erfassen, wählen wir
-

wobei der vordere Term bei
zu ignorieren ist. Es gelten dann in der Tat für
-

die Abschätzungen
