Wir zeigen, dass das Quadrieren
-
stetig ist. Es sei dazu
fixiert, wir zeigen die Stetigkeit im Punkt
. Es sei ein
vorgegeben. Wir müssen ein
finden
(bzw. die Existenz eines solchen
nachweisen),
das die Eigenschaft besitzt: Wenn
-
![{\displaystyle {}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911002828191946a5f602f571d68e7f77b3cf3ad)
dann ist auch
-
![{\displaystyle {}\vert {x^{2}-a^{2}}\vert \leq \epsilon \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b3914cabb776ef68f494d84390ea5944e96013)
also wenn
und
-nahe sind, so sind die beiden Funktionswerte
-nahe. Es ist klar, dass die Wahl von
nicht nur von
abhängt, sondern auch von
. Wenn man nämlich zu
eine Zahl
hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich
-
![{\displaystyle {}(a+\delta )^{2}=a^{2}+2a\delta +\delta ^{2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dd7e0360a71d8f198b9b67b138b2baf4415b2e)
und die Differenz zu
ist somit
. Insbesondere muss der Betrag dieser Differenz kleinergleich dem vorgegebenen
werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden
und
beide kleinergleich
sind. Von daher ist bei
und
die Wahl
-
![{\displaystyle {}\delta :={\min {\left({\frac {\epsilon }{4a}},{\frac {\epsilon }{2}}\right)}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b0c33f2d41e9c385279acfd7ec0caa92b88e4e)
naheliegend. Um alle Fälle zu erfassen, wählen wir
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![{\displaystyle {}\delta :={\min {\left({\frac {\epsilon }{4\vert {a}\vert }},{\frac {\epsilon }{2}}\right)}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a67bc450a1ffb93b441579c94c5cfa919c21233)
wobei der vordere Term bei
zu ignorieren ist. Es gelten dann in der Tat für
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![{\displaystyle {}\vert {a-x}\vert \leq \delta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c134df7af27916e3925059547f360a266bd6651)
die Abschätzungen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {x^{2}-a^{2}}\vert &=\vert {x-a}\vert \cdot \vert {x+a}\vert \\&\leq \delta {\left(2\vert {a}\vert +\delta \right)}\\&=2\vert {a}\vert \delta +\delta ^{2}\\&\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\&=\epsilon .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38cdc541fb2414565112e4ba213153855e9470cf)