Reelle Zahl/Zehnersystem/Folgenbegriff/Beispiel

Eine reelle Zahl ${}x$ aus ${}[0,1[$ wird im Zehnersystem durch eine unendliche Dezimalbruchentwicklung der Form

${}x=0{,}z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}\ldots \,$

wiedergegeben. Dabei sind die ${}z_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, Ziffern aus ${}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ und ${}z_{n}$ bezeichnet die ${}n$-te Nachkommaziffer. Wenn man eine solche unendliche Ziffernentwicklung nur bis zur ${}n$-ten Stelle liest und die weiteren Stellen vernachlässigt, so erhält man die rationalen Zahlen

${}x_{n}=0{,}z_{1}z_{2}\ldots z_{n}={\frac {z_{1}10^{n-1}+z_{2}10^{n-2}+\cdots +z_{n-1}10+z_{n}}{10^{n}}}\,,$

die eine zunehmend bessere Approximation von ${}x$ darstellen. Der Fehler der ${}n$-ten Approximation ${}x_{n}$, also der Abstand ${}x-x_{n}$, ist höchstens ${}1/10^{n}$. Man kann also den Fehler beliebig klein machen, indem man die rationalen Approximationen ${}x_{n}$ für hinreichend große ${}n$ betrachtet.