Reelle Zahlen/1 durch 3/Dezimalbruchfolge/Beispiel

Wir betrachten die Folge

${}x_{n}=0,33\ldots 33\,$

mit genau ${}n$ Nachkommaziffern und behaupten, dass diese Folge gegen ${}1/3$ konvergiert. Dazu müssen wir ${}\vert {0,33\ldots 33-{\frac {1}{3}}}\vert$ bestimmen, und dafür müssen wir uns an die Bedeutung von Dezimalbrüchen erinnern. Es ist

${}x_{n}=0,33\ldots 33={\frac {33\ldots 33}{10^{n}}}={\frac {\sum _{j=0}^{n-1}3\cdot 10^{j}}{10^{n}}}\,$

und somit ist

${}{\begin{aligned}\vert {0,33\ldots 33-{\frac {1}{3}}}\vert &=\vert {{\frac {\sum _{j=0}^{n-1}3\cdot 10^{j}}{10^{n}}}-{\frac {1}{3}}}\vert \\&=\vert {\frac {3\cdot {\left(\sum _{j=0}^{n-1}3\cdot 10^{j}\right)}-10^{n}}{3\cdot 10^{n}}}\vert \\&=\vert {\frac {{\left(\sum _{j=0}^{n-1}9\cdot 10^{j}\right)}-10^{n}}{3\cdot 10^{n}}}\vert \\&=\vert {\frac {-1}{3\cdot 10^{n}}}\vert \\&={\frac {1}{3\cdot 10^{n}}}.\end{aligned}}$

Wenn nun ein positives ${}\epsilon$ vorgegeben ist, so ist für ${}n$ hinreichend groß dieser letzte Term ${}\leq \epsilon$.