Reelle Zahlen/Abzählbares Nichtstandardmodell/Beispiel

Die Symbolmenge ${}S$ bestehe aus ${}0,1,+,\cdot$ (und abzählbar unendlich vielen Variablen), die in den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge

${}\Gamma =\mathbb {R} ^{\vDash }\,$

ist somit widerspruchsfrei. Der Beweis zu Fakt zeigt, dass es dann eine abzählbare Symbolerweiterung ${}S'\supseteq S$ und eine ${}S'$-Ausdrucksmenge ${}\Gamma '$ gibt, die Beispiele enthält (es ist nicht selbstverständlich, ob ${}\Gamma$ selbst Beispiele enthält. Da es überabzählbar viele reelle Zahl gibt, liegt nicht jede reelle Zahl im Bild der Terminterpretation, sodass man Fakt nicht anwenden kann), und die nach Fakt zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge ergänzt werden kann. Nach dem Satz von Henkin gibt es ein erfüllendes Modell, das aus Identifizieren von Termen entsteht. Da die Termmenge abzählbar ist, ist auch dieses Modell abzählbar. Es gibt daher ein abzählbares Nichtstandardmodell der reellen Zahlen.