Reelle Zahlen/Additive Gruppe und positive multiplikative Gruppe/Bijektion/Aufgabe/Lösung

Sei

$\varphi _{b}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\ x\mapsto b^{x}.$

Dann ist $\varphi _{b}$ für jedes beliebige $b>0$ ein Homomorphismus, denn für alle $x,y\in \mathbb {R}$ gilt

$\varphi _{b}(x+y)=b^{x+y}=b^{x}\cdot b^{y}=\varphi _{b}(x)\cdot \varphi _{b}(y).$

Nun hat $\varphi _{b}$ im Fall $b\neq 1$ aber auch eine Umkehrfunktion,

$\varphi _{b}^{-1}:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto \log _{b}x.$

Sie ist ebenfalls ein Homomorphismus (in die entgegengesetzte Richtung), denn für alle $x,y\in \mathbb {R} _{+}$ gilt

$\varphi _{b}^{-1}(x\cdot y)=\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y=\varphi _{b}^{-1}(x)+\varphi _{b}^{-1}(y)\cdot \varphi _{b}^{-1}(y).$

Damit sind die beiden Homomorphismen $\varphi _{b}$ und $\varphi _{b}^{-1}$ bijektiv und per Definition Isomorphismen.