Reelle Zahlen/Algebraische Axiome/Fakt

Algebraische Axiome für ${}\mathbb {R}$

Die Addition und die Multiplikation auf den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ (mit den Elementen ${}0\neq 1$) erfüllen die folgenden Eigenschaften (bzw. Axiome).

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in \mathbb {R}$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in \mathbb {R}$ gibt es ein Element ${}b\in \mathbb {R}$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in \mathbb {R}$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in \mathbb {R}$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in \mathbb {R}$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

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