Reelle Zahlen/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel

Es sei $c>0$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die alternierende Folge

$x_n:=(-1{)}^{n}c$

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus

$|x_n|=|(-1{)}^n||c|=c.$

Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich  $x\ge 0$  der Grenzwert, so gilt für positives  $ϵ<1$  und jedes ungerade $n$ die Beziehung

$|x_n-x|=|-c-x|=c+x\ge c>ϵ,$

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $ϵ$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommenen Grenzwert zum Widerspruch führen.