Reelle Zahlen/Beschränkte, nicht konvergente Folge/Beispiel

Es sei ${}c>0$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die alternierende Folge

${}x_{n}:=(-1)^{n}c\,$

beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus

${}\vert {x_{n}}\vert =\vert {(-1)^{n}}\vert \vert {c}\vert =c\,.$

Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich ${}x\geq 0$ der Grenzwert, so gilt für positives ${}\epsilon <1$ und jedes ungerade ${}n$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {-c-x}\vert =c+x\geq c>\epsilon \,,$

so dass es Folgenwerte außerhalb dieser ${}\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.