Reelle Zahlen/Beschränkte, nicht konvergente Folge/pm 1/Beispiel

Die alternierende Folge

${}x_{n}:=(-1)^{n}\,$

ist beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit folgt direkt aus  ${}x_{n}\in [-1,1]$  für alle ${}n$. Konvergenz liegt aber nicht vor. Wäre nämlich  ${}x\geq 0$  der Grenzwert, so gilt für positives  ${}\epsilon <1$  und jedes ungerade ${}n$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert =\vert {-1-x}\vert =1+x\geq 1>\epsilon \,,$

sodass es Folgenwerte außerhalb dieser ${}\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.