Beweis
Es sei
eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei
und
eine obere Schranke für
, d.h. es ist
für alle
. Wir konstruieren zwei Folgen
und
,
wobei
wachsend,
fallend ist und jedes
eine obere Schranke von
ist
(sodass insbesondere
für alle
ist),
und so, dass
eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis
bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
-
und
-
Dies erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
-
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge
wachsend und nach oben beschränkt ist, handelt es sich nach
Fakt
um eine Cauchy-Folge. Wegen der
Vollständigkeit
besitzt die konstruierte Folge
einen Grenzwert
. Ebenso ist die fallende Folge
, die nach unten beschränkt ist, eine Cauchy-Folge mit demselben Grenzwert
. Wir behaupten, dass dieses
das Supremum von
ist. Wir zeigen zuerst, dass
eine obere Schranke von
ist. Es sei dazu
angenommen für ein
. Da die Folge
gegen
konvergiert, gibt es insbesondere ein
mit
-

im Widerspruch dazu, dass jedes
eine obere Schranke von
ist.
Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass
kleiner oder gleich jeder oberen Schranke von
ist. Es sei dazu
eine obere Schranke von
und nehmen wir an, dass
ist. Da
gegen
konvergiert, gibt es wieder ein
mit
-
im Widerspruch dazu, dass
eine obere Schranke ist. Also liegt wirklich das Supremum vor.