Beweis
Es sei eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei und eine obere Schranke für , d.h. es ist für alle . Wir konstruieren zwei Folgen
und ,
wobei
wachsend, fallend ist und jedes eine obere Schranke von ist
(sodass insbesondere für alle ist),
und so, dass eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
-
und
-
Dieses Punktepaar erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
-
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge wachsend und nach oben beschränkt ist, konvergiert sie nach
Fakt
gegen einen Grenzwert, sagen wir . Ebenso ist die fallende Folge nach unten beschränkt und konvergiert gegen denselben Grenzwert . Wir behaupten, dass dieses das Supremum von ist. Wir zeigen zuerst, dass eine obere Schranke von ist. Sei dazu
für ein
angenommen. Da die Folge gegen konvergiert, gibt es insbesondere ein mit
-
im Widerspruch dazu, dass jedes eine obere Schranke von ist.
Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass kleinergleich jeder oberen Schranke von ist. Sei dazu eine obere Schranke von und nehmen wir an, dass
ist. Da gegen konvergiert, gibt es wieder ein mit
-
im Widerspruch dazu, dass eine obere Schranke ist. Also liegt wirklich das Supremum vor.