Reelle Zahlen/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $b \in ℝ$ eine obere Schranke, also $x_{n} \leq b$ für alle Folgenglieder $x_{n}$ . Wir nehmen an, dass ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein $ϵ > 0$ derart, dass es für jedes $n_{0}$ Indizes $n > m \geq n_{0}$ mit $x_{n} - x_{m} \geq ϵ$ gibt (wir können die Betragstriche weglassen). Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem $n_{0}$ ein $n > n_{0}$ mit $x_{n} - x_{n_{0}} \geq ϵ$ . Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch

n_{1} > n_{0} so, dass x_{n_{1}} - x_{n_{0}} \geq ϵ,

n_{2} > n_{1} so, dass x_{n_{2}} - x_{n_{1}} \geq ϵ,

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein $k \in ℕ$ mit

k ϵ > b - x_{n_{0}} .

Die Summe der ersten $k$ Differenzen der Teilfolge $x_{n_{j}}$ , $j \in ℕ$ , ergibt

\begin{matrix} x_{n_{k}} - x_{n_{0}} & = (x_{n_{k}} - x_{n_{k - 1}}) + (x_{n_{k - 1}} - x_{n_{k - 2}}) + \dots + (x_{n_{2}} - x_{n_{1}}) + (x_{n_{1}} - x_{n_{0}}) \\ \geq k ϵ \\ > b - x_{n_{0}} . \end{matrix}

Dies impliziert $x_{n_{k}} > b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $b$ eine obere Schranke der Folge ist.

Zur bewiesenen Aussage