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Reelle Zahlen/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine obere Schranke, also für alle Folgenglieder .  Wir nehmen an, dass keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein derart, dass es für jedes Indizes mit gibt (wir können die Betragstriche weglassen). Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem ein mit . Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein mit

Die Summe der ersten Differenzen der Teilfolge , , ergibt

  Dies impliziert im Widerspruch zur Voraussetzung, dass eine obere Schranke der Folge ist.