Reelle Zahlen/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}b\in \mathbb {R}$ eine obere Schranke, also ${}x_{n}\leq b$ für alle Folgenglieder ${}x_{n}$.  Wir nehmen an, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass es für jedes ${}n_{0}$ Indizes ${}n>m\geq n_{0}$ mit ${}x_{n}-x_{m}\geq \epsilon$ gibt (wir können die Betragstriche weglassen). Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem ${}n_{0}$ ein ${}n>n_{0}$ mit ${}x_{n}-x_{n_{0}}\geq \epsilon$. Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch

$n_{1}>n_{0}{\text{ so, dass }}x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\geq \epsilon ,$

$n_{2}>n_{1}{\text{ so, dass }}x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\geq \epsilon ,$

etc. Andererseits gibt es aufgrund des Archimedesaxioms ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit

${}k\epsilon >b-x_{n_{0}}\,.$

Die Summe der ersten ${}k$ Differenzen der Teilfolge ${}x_{n_{j}}$, ${}j\in \mathbb {N}$, ergibt

${}{\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{n_{0}}&={\left(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}}\right)}+{\left(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}}\right)}+\cdots +{\left(x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\right)}+{\left(x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\right)}\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{n_{0}}.\end{aligned}}$

  Dies impliziert ${}x_{n_{k}}>b$ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ${}b$ eine obere Schranke der Folge ist.

Zur bewiesenen Aussage