Beweis
Es sei
eine obere Schranke, also
für alle Folgenglieder
. Wir nehmen an, dass
keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für jedes
Indizes
mit
gibt
(wir können die Betragstriche weglassen).
Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem
ein
mit
.
Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
-
-
etc. Andererseits gibt es aufgrund des
Archimedesaxioms
ein
mit
-
![{\displaystyle {}k\epsilon >b-x_{n_{0}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c690efa32dbb84a3b6d5f7eb7b0a596032a303ed)
Die Summe der ersten
Differenzen der
Teilfolge
,
,
ergibt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{n_{k}}-x_{n_{0}}&={\left(x_{n_{k}}-x_{n_{k-1}}\right)}+{\left(x_{n_{k-1}}-x_{n_{k-2}}\right)}+\cdots +{\left(x_{n_{2}}-x_{n_{1}}\right)}+{\left(x_{n_{1}}-x_{n_{0}}\right)}\\&\geq k\epsilon \\&>b-x_{n_{0}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6083aa3d190af3ed3e9175ae8df5ce1a70734bc5)
Dies impliziert
im Widerspruch zur Voraussetzung, dass
eine obere Schranke der Folge ist.