Wir behaupten
Wegen 0 ∉ I {\displaystyle {}0\notin I} ist entweder [ a , b ] ⊆ R + {\displaystyle {}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}} oder [ a , b ] ⊆ R − {\displaystyle {}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{-}} . Auf R + {\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}} und auf R − {\displaystyle {}\mathbb {R} _{-}} ist die inverse Abbildung x ↦ x − 1 {\displaystyle {}x\mapsto x^{-1}} streng fallend. Somit ist
![{\displaystyle {}M=[b^{-1},a^{-1}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b56814ba3ae4f9ec6a8d65d3a821633d9c66172)
ist entweder
![{\displaystyle {}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7c0f9d6514b15af5ae9928e985c17425766d46)
oder
![{\displaystyle {}[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7925da23045f67bb8459a296b9d15673d3ed93)
.
Auf
und auf 
ist die inverse Abbildung 
streng fallend. Somit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}M&={\left\{x\in \mathbb {R} \mid x^{-1}\in [a,b]\right\}}\\&={\left\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x^{-1}\leq b\right\}}\\&={\left\{x\in \mathbb {R} \mid a^{-1}\geq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}\geq b^{-1}\right\}}\\&={\left\{x\in \mathbb {R} \mid a^{-1}\geq x\geq b^{-1}\right\}}\\&=[b^{-1},a^{-1}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2150e7fbdd93822766c93554376b048903c6952d)
