Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/4/Fakt/Beweis

Beweis

Da der Limes der Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ nicht $0$ ist, gilt für $n \geq N_{1}$ die Bedingung $| x_{n} | \geq \frac{| x |}{2}$ und damit

\frac{1}{| x_{n} |} \leq \frac{2}{| x |} .

Es sei $ϵ > 0$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz von ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ gibt es ein $N_{2}$ mit

| x_{n} - x | \leq \frac{ϵ | x |^{2}}{2} für alle n \geq N_{2} .

Dann gilt für alle $n \geq N := max {N_{1}, N_{2}}$ die Abschätzung

| \frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x} | = | \frac{x_{n} - x}{x x_{n}} | = \frac{1}{| x | | x_{n} |} | x_{n} - x | \leq \frac{2}{| x |^{2}} \cdot \frac{ϵ | x |^{2}}{2} = ϵ .