Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Konvergenz der Repräsentanten/Fakt/Beweis

Beweis

Da die ${}x_{n}$ rationale Zahlen sind, können wir sie direkt (als konstante Folgen) als Elemente in ${}\mathbb {R}$ auffassen. Wir schreiben

${}x:=[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\,.$

Die Differenz ${}x-x_{m}$ von ${}x$ zum Folgenglied ${}x_{m}$ (in ${}\mathbb {R}$) ist gleich der Klasse ${}[(x_{n}-x_{m})_{n\in \mathbb {N} }]$. Sei ${}{\frac {1}{k}}$, ${}k\in \mathbb {N} _{+}$, vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle

${}m,n\geq n_{0}\,$

die Abschätzungen

${}-{\frac {1}{k}}\leq x_{n}-x_{m}\leq {\frac {1}{k}}\,$

gelten. Für ${}m\geq n_{0}$ ist damit auch die Differenzklasse ${}[(x_{n}-x_{m})_{n\in \mathbb {N} }]$ zwischen ${}-{\frac {1}{k}}$ und ${}{\frac {1}{k}}$. Somit ist

${}-{\frac {1}{k}}\leq x-x_{m}\leq {\frac {1}{k}}\,$

für ${}m\geq n_{0}$, was die Konvergenz bedeutet.

Zur bewiesenen Aussage