Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Konvergenz der Repräsentanten/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Da die rationale Zahlen sind, können wir sie direkt (als konstante Folgen) als Elemente in auffassen. Wir schreiben

Die Differenz von zum Folgenglied (in ) ist gleich der Klasse . Sei , , vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft gibt es ein derart, dass für alle

die Abschätzungen

gelten. Für ist damit auch die Differenzklasse zwischen und . Somit ist

für , was die Konvergenz bedeutet.