Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {R}$. D.h. jedes einzelne Folgenglied ${}z_{n}$ ist selbst durch eine rationale Cauchy-Folge repräsentiert. Für diese repräsentierende Folge schreiben wir ${}(x_{ni})_{i\in \mathbb {N} }$, wobei der zweite Index der Folgenindex ist und der erste Index sich auf die zugehörige Restklasse ${}z_{n}$ bezieht. Wir können durch Übergang zu einer Teilfolge der ${}n$.ten Folge annehmen, dass für jeden Stammbruch ${}{\frac {1}{k}}$ bereits für alle ${}i,j\geq k$ die Abschätzung

${}\vert {x_{ni}-x_{nj}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$

gilt. Es sei ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Diagonalfolge, ihre Folgenglieder sind also die rationalen Zahlen

${}y_{n}=x_{nn}\,.$

Wir behaupten, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist und dass die vorgegebene Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}y=[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ konvergiert. Es sei also ${}\epsilon ={\frac {1}{k}}$ mit ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft der Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}n_{0}$ (das wir als mindestens ${}k$ annehmen können) derart, dass für alle ${}m,n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {z_{m}-z_{n}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$

gilt. Aufgrund von Fakt konvergiert die geeignet gewählte repräsentierende Folge ${}(x_{ni})_{i\in \mathbb {N} }$ gegen ${}z_{n}$, und zwar mit der Eigenschaft, dass

${}\vert {x_{ni}-x_{nj}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$

für ${}i,j\geq k$ und somit auch

${}\vert {x_{ni}-z_{n}}\vert \leq {\frac {1}{3k}}\,$

für ${}i$ hinreichend groß gilt. Somit ist insgesamt für ${}m,n\geq n_{0}$

${}{\begin{aligned}\vert {z_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {z_{m}-x_{nn}}\vert \\&=\vert {z_{m}-z_{n}+z_{n}-x_{nm}+x_{nm}-x_{nn}}\vert \\&\leq \vert {z_{m}-z_{n}}\vert +\vert {z_{n}-x_{nm}}\vert +\vert {x_{nm}-x_{nn}}\vert \\&\leq {\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k}}+{\frac {1}{3k}}\\&={\frac {1}{k}}.\end{aligned}}$

Durch den Vergleich

${}\vert {y_{n}-y_{\ell }}\vert \leq \vert {z_{m}-y_{n}}\vert +\vert {z_{m}-y_{\ell }}\vert \,$

sieht man, dass ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist. Die zugehörige Klasse ${}y=[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$ ist nach Fakt der Grenzwert davon. Die obige Abschätzung gilt dann auch für ${}\vert {z_{m}-y}\vert$.

Zur bewiesenen Aussage