Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $ℝ$ . D.h. jedes einzelne Folgenglied $z_{n}$ ist selbst durch eine rationale Cauchy-Folge repräsentiert. Für diese repräsentierende Folge schreiben wir $(x_{n i})_{i \in ℕ}$ , wobei der zweite Index der Folgenindex ist und der erste Index sich auf die zugehörige Restklasse $z_{n}$ bezieht. Wir können durch Übergang zu einer Teilfolge der $n .$ -ten Folge annehmen, dass für jeden Stammbruch $\frac{1}{k}$ bereits für alle $i, j \geq k$ die Abschätzung

| x_{n i} - x_{n j} | \leq \frac{1}{3 k}

gilt. Es sei ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ die zugehörige Diagonalfolge, ihre Folgenglieder sind also die rationalen Zahlen

y_{n} = x_{n n} .

Wir behaupten, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist und dass die vorgegebene Folge ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ in $ℝ$ gegen $y = [{(y_{n})}_{n \in ℕ}]$ konvergiert. Es sei also $ϵ = \frac{1}{k}$ mit $k \in ℕ_{+}$ vorgegeben. Aufgrund der Cauchy-Eigenschaft der Folge ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ gibt es ein $n_{0}$ (das wir als mindestens $k$ annehmen können) derart, dass für alle $m, n \geq n_{0}$ die Abschätzung

| z_{m} - z_{n} | \leq \frac{1}{3 k}

gilt. Aufgrund von Fakt konvergiert die geeignet gewählte repräsentierende Folge $(x_{n i})_{i \in ℕ}$ gegen $z_{n}$ , und zwar mit der Eigenschaft, dass

| x_{n i} - x_{n j} | \leq \frac{1}{3 k}

für $i, j \geq k$ und somit auch

| x_{n i} - z_{n} | \leq \frac{1}{3 k}

für $i$ hinreichend groß gilt. Somit ist insgesamt für $m, n \geq n_{0}$

\begin{matrix} | z_{m} - y_{n} | & = | z_{m} - x_{n n} | \\ = | z_{m} - z_{n} + z_{n} - x_{n m} + x_{n m} - x_{n n} | \\ \leq | z_{m} - z_{n} | + | z_{n} - x_{n m} | + | x_{n m} - x_{n n} | \\ \leq \frac{1}{3 k} + \frac{1}{3 k} + \frac{1}{3 k} \\ = \frac{1}{k} . \end{matrix}

Durch den Vergleich

| y_{n} - y_{ℓ} | \leq | z_{m} - y_{n} | + | z_{m} - y_{ℓ} |

sieht man, dass ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ eine Cauchy-Folge ist. Die zugehörige Klasse $y = [{(y_{n})}_{n \in ℕ}]$ ist nach Fakt der Grenzwert davon. Die obige Abschätzung gilt dann auch für $| z_{m} - y |$ .

Zur bewiesenen Aussage