Reelle Zahlen/Reihe/Cauchykriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$. Die Konvergenz der Reihe bedeutet die Konvergenz dieser Folge der Partialsummen. Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn es sich um eine Cauchyfolge handelt. Eine solche liegt vor, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass zu jedem

${}n\geq m\geq n_{0}\,$

die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. Im Reihenfall bedeutet dies einfach

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert =\vert {\sum _{k=0}^{n}a_{k}-\sum _{k=0}^{m}a_{k}}\vert =\vert {\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

(die Verschiebung um ${}1$ in der Indexmenge macht keinen Unterschied).

Zur bewiesenen Aussage