Reelle Zahlen/Teilmenge/Funktion/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt

Es sei  ${}T\subseteq \mathbb {R}$  eine Teilmenge und sei  ${}a\in \mathbb {R}$  ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und  ${}b\in \mathbb {R}$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

2. Für jedes  ${}\epsilon >0$  gibt es ein  ${}\delta >0$  derart, dass für alle  ${}x\in T$  mit  ${}d(x,a)\leq \delta$  die Abschätzung  ${}d(f(x),b)\leq \epsilon$  gilt.

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