Reelle Zahlen/x^2+(x+1)^2 \geq (x+2)^2 für x \geq 3/Aufgabe/Lösung

Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann

${}2x^{2}+2x+1\geq x^{2}+4x+4\,.$

Für reelle Zahlen erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, so dass die Abschätzung äquivalent zu

${}x^{2}-2x-3\geq 0\,$

ist. Wir schreiben die linke Seite als

${}x^{2}-2x-3=x^{2}-2x+1-1-3=(x-1)^{2}-4\,.$

Bei ${}x\geq 3$ ist ${}x-1\geq 2$ und daher

${}(x-1)^{2}\geq 2(x-1)\geq 2^{2}=4\,,$

also gilt für ${}x\geq 3$ die Abschätzung

${}(x-1)^{2}-4\geq 0\,$

und damit die ursprüngliche Abschätzung.

Zur gelösten Aufgabe