Reelle in komplexen Zahlen/Abgeschlossen/Aufgabe/Kommentar

Da wir Abgeschlossenheit in ${}{\mathbb {C} }$ untersuchen sollen, steht schon einmal fest, dass ${}{\mathbb {C} }$ die Menge des zugrunde liegenden metrischen Raumes ist. Es werden aber keine genaueren Angaben zur Metrik gemacht. Deswegen nehmen wir die Standardmetrik der komplexen Zahlen, den komplexen Betrag bzw. den euklidischen Abstand. Somit befinden wir uns im metrischen Raum ${}({\mathbb {C} },\vert {\cdot }\vert )$ .

Die Abgeschlossenheit einer Menge ist dadurch definiert, dass ihr Komplement im metrischen Raum offen ist. In unserem Fall heißt das, wir müssen zeigen, dass ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ offen ist. Dafür erinnern wir uns daran, dass eine Menge ${}M$ offen ist, wenn für jeden Punkt ${}x\in M$ eine offene ${}\epsilon$ -Kugel ${}U(x,\epsilon )$ existiert, die ganz in ${}M$ liegt (diese darf dabei beliebig klein sein, das heißt, dass ${}\epsilon$ beliebig klein aber ungleich ${}0$ gewählt werden darf), also ${}U(x,\epsilon )\subset M$ ist. In unserer Situation für die Menge ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ ist anschaulich klar, dass falls wir weit weg von der reellen Achse sind, es kein Problem ist für ein dortiges Element eine ${}\epsilon$ -Kugel zu finden, die ganz in ${}{\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ liegt, also die reelle Achse nicht trifft. Nah an der reellen Achse, ist dies erst einmal nicht mehr ganz so einfach. Aber auch hier lassen sich solche Kugeln finden, wir müssen den Radius, also das ${}\epsilon$ nur klein genug wählen. Das können wir auch ganz präzise machen. Wenn ${}z=x+{\mathrm {i} }y\in {\mathbb {C} }\setminus \mathbb {R}$ eine komplexe Zahl mit Realteil ${}x$ und Imaginärteil ${}y$ ist, entspricht der Abstand von ihr zur reellen Achse dem reellen Betrag ihres Imaginärteils, ${}\vert {y}\vert$ . Jetzt nehmen wir einfach die ${}\epsilon$ -Kugel mit ${}\epsilon =\vert {y}\vert /2$ . Diese berührt nicht die reelle Achse.