Reelles Polynom/X^4+1/Zerlegung/Beispiel

Das Polynom ${}X^{4}+1$ ist im Reellen stets positiv und hat daher keine reelle Nullstelle. Daher besitzt es in ${}\mathbb {R} [X]$ nach Fakt auch keinen linearen Faktor. Wegen der Zerlegung

${}X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}\,$

ist das Polynom aber nicht irreduzibel.