Reihe/R/n^nz^n/Bestimme Konvergenzpunkte/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine Potenzreihe mit den Koeffizienten ${}n^{n}$. Sie konvergiert für ${}x=0$, da dann nur ein Glied von ${}0$ verschieden ist. Wir behaupten, dass die Reihe für keine weitere reelle Zahl konvergiert. Da es sich um eine Potenzreihe handelt, genügt es, für jede reelle positive Zahl ${}x$ nachzuweisen, dass die Reihe divergiert. Zu ${}x>0$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}kx\geq 1$. Es gilt dann auch ${}nx\geq 1$ für alle ${}n\geq k$. Wegen

${}\sum _{n=k}^{\infty }n^{n}x^{n}\geq \sum _{n=k}^{\infty }1\,$

erfüllt die Reihe nicht das Cauchy-Kriterium und kann daher nicht konvergieren.

Zur gelösten Aufgabe