Reihen/Reelle Zahlen/Leibnizkriterium/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{x}_k.$

Wir betrachten die Teilfolge mit geradem Index. Für jedes $n$ gilt wegen  $x_{2n+2}\le x_{2n+1}$  die Beziehung

$s_{2(n+1)}=s_{2n}-x_{2n+1}+x_{2n+2}\le s_{2n},$

d.h. diese Teilfolge ist fallend. Ebenso ist die Folge der ungeraden Teilsummen wachsend. Es gelten die Abschätzungen

$s_0\ge s_{2n}\ge s_{2n-1}\ge s_1.$

Daher sind die beiden Teilfolgen fallend und nach unten beschränkt bzw. wachsend und nach oben beschränkt, und daher wegen Fakt konvergent. Wegen  $s_{2n}-s_{2n-1}=x_{2n}$  und  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$ 

stimmen die Grenzwerte überein.

Zur gelösten Aufgabe