Reine kubische reelle Gleichung/Nullstellen/Nicht galoissch/Aufgabe

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl, die in ${}\mathbb {Q}$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass ${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}3$ ist. Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}-q$ in ${}L$ genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht galoissch ist.

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