Rekursive Folge/e^x - 1/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir betrachten die Funktion . Es ist . Die Ableitung der Funktion ist . Daher verläuft der Graph von für echt oberhalb der Diagonalen und für echt unterhalb der Diagonalen. Insbesondere ist , wobei Gleichheit nur bei

gilt. Insbesondere ist also die rekursiv definierte Folge wachsend. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt für den Grenzwert einer solchen Folge (falls er existiert)

Diese Bedingung wird nur von erfüllt und dies ist der einzige mögliche Grenzwert. Bei einem Startwert kann die Folge wegen des Wachstumsverhaltens nicht konvergieren. Bei einem Startwert ist

Daher ist eine solche Folge wachsend und nach oben beschränkt und muss somit konvergieren, und zwar gegen den einzig möglichen Grenzwert .
Zur gelösten Aufgabe