Rekursive Folge/e^x - 1/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion ${}f(x)=e^{x}-1$. Es ist ${}f(0)=0$. Die Ableitung der Funktion ${}f$ ist ${}e^{x}$. Daher verläuft der Graph von ${}f$ für ${}x>0$ echt oberhalb der Diagonalen und für ${}x<0$ echt unterhalb der Diagonalen. Insbesondere ist ${}f(x)\geq x$, wobei Gleichheit nur bei

${}x=0\,$

gilt. Insbesondere ist also die rekursiv definierte Folge wachsend. Wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion gilt für den Grenzwert ${}x$ einer solchen Folge (falls er existiert)

${}x=e^{x}-1\,.$

Diese Bedingung wird nur von ${}x=0$ erfüllt und dies ist der einzige mögliche Grenzwert. Bei einem Startwert ${}x_{0}>0$ kann die Folge wegen des Wachstumsverhaltens nicht konvergieren. Bei einem Startwert ${}x_{0}\leq 0$ ist

${}e^{x_{0}}-1\leq 0\,.$

Daher ist eine solche Folge wachsend und nach oben beschränkt und muss somit konvergieren, und zwar gegen den einzig möglichen Grenzwert ${}0$.

Zur gelösten Aufgabe