Rekursives Dreieck/Geometrisches Mittel/256/Aufgabe/Lösung

1. Es ergibt sich das folgende Schema.

   ${\begin{matrix}&&&&&256&&&&&\\&&&&16&&16&&&&\\&&&4&&16&&4&&\\&&2&&8&&8&&2&&\\&{\sqrt {2}}&&4&&8&&4&&{\sqrt {2}}&\\2^{1/4}&&2\cdot 2^{1/4}&&4{\sqrt {2}}&&4{\sqrt {2}}&&2\cdot 2^{1/4}&&2^{1/4}\end{matrix}}$

   Wegen

   ${}(4{\sqrt {2}})^{2}=32\leq 6^{2}\,$

   sind wir fertig.

2. In jeder Zeile ist das Produkt über alle Zahlen gleich ${}256$. Dies beweist man durch Induktion über den Zeilenindex. In der Startzeile ist das richtig (die nicht hingeschriebenen Zahlen sind ${}1$). Es sei also das Produkt der Zahlen in einer Zeile gleich ${}256$. Jede Zahl dieser Zeile geht zweifach in die folgende Zeile ein, einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der linken Zahl und einmal als Beitrag zum geometrischen Mittel mit der rechten Zahl. Dabei geht wegen ${}{\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$ jeweils die Quadratwurzel ein. Das Gesamtprodukt bleibt dabei erhalten.

Zur gelösten Aufgabe