Relationen/Prädikatenlogik/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt

Eine einstellige Relation oder ein Prädikat ist eine Eigenschaftsform, die einem Element zukommen kann oder nicht, z.B. die Eigenschaft einer natürlichen Zahl, prim zu sein oder gerade zu sein oder eine Quadratzahl zu sein, oder das Positivitätsprädikat, das besagt, dass eine reelle Zahl positiv ist. Einstellige Prädikate definieren eine Teilmenge einer gegebenen Grundmenge: Einem einstelligen Prädikat wird diejenige Teilmenge zugeordnet, die aus allen Elementen besteht, für die das Prädikat gilt. Daher entspricht die Mengenlehre weitgehend der Prädikatenlogik mit nur einstelligen Prädikaten.

Mit ${}n$-stelligen Relationenssymbolen und ${}n$ Termen gelangt man ebenfalls zu einer Aussage. Wenn z.B. ${}A,B,C$ als Punkte in der Ebene interpretiert werden können, und ${}G$ die Relation „bildet ein gleichseitiges Dreieck“ bedeutet, so bedeutet ${}G(A,B,C)$, dass diese drei Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden. Der Wahrheitsgehalt hängt natürlich von der Lage der Punkte ${}A,B,C$ ab, hier interessiert aber lediglich, dass ${}G(A,B,C)$ eine sinnvolle Aussageform repräsentiert.

Andere geometrische Beispiele für dreistellige Relationen sind die Eigenschaften, dass die drei Punkte ${}A,B,C$ auf einer Geraden liegen, sagen wir ${}L(A,B,C)$, oder dass die drei Punkte ein rechtwinkliges Dreieck bilden, wobei der rechte Winkel an dem zuerst genannten Eckpunkt liegen muss, sagen wir ${}R(A,B,C)$. Man kann sich darüber streiten, ob bei einem Dreieck die Eckpunkte alle verschieden sein müssen, jedenfalls kann man die Eigenschaft der drei Punkte, dass sie paarweise verschieden sind, durch ein dreistelliges Prädikat ausdrücken, sagen wir ${}V(A,B,C)$.