Repräsentierungen/Gerade Zahlen/Schwach/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst die schwache Repräsentierbarkeit, dass also für alle ${}n\in \mathbb {N}$ die Zugehörigkeit ${}n\in \mathbb {N} 2$ genau dann vorliegt, wenn die Ableitbarkeit ${}\Gamma \vdash \psi (n)$ gilt.

Wenn ${}n$ eine gerade natürliche Zahl ist, so ist

${}n=1+\cdots +1={\left(1+\cdots +1\right)}+{\left(1+\cdots +1\right)}={\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}}\,,$

wobei wir die ${}n$ Einsen in zwei gleichgroße Hälften aufgeteilt haben. Da in ${}\Gamma$ die Assoziativität und Kommutativität ableitbar ist (was auch der Grund dafür ist, dass wir in der Darstellung von ${}n$ als Summe von ${}1$ keine Klammerung festlegen müssen), ist auch

$\Gamma \vdash n={\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}},$

wobei ${}n$ und ${}{\frac {n}{2}}$ Abkürzungen für Einsersummen sind. Aufgrund der Existenzeinführung im Sukzedens ist

$\Gamma \vdash n={\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}}\rightarrow \exists y(n=y+y)$

und mit Modus ponens auch

$\Gamma \vdash \exists y(n=y+y),$

also

$\Gamma \vdash \psi (n).$

Wenn ${}n$ ungerade ist, so ist definitiv nicht

$\Gamma \vdash \psi (n),$

da wegen ${}\Gamma \subseteq {\rm {PA}}^{\vdash }$ dies auch in ${}\mathbb {N}$ gelten würde, was aber nicht der Fall ist.

Es liegt aber keine starke Repräsentierbarkeit vor. In diesem Fall würde nämlich für ${}n$ ungerade die Ableitbarkeit

$\Gamma \vdash \neg \psi (n)$

gelten. Dies würde dann in jedem Modell, das ${}\Gamma$ erfüllt, gelten. Da die Gültigkeit von ${}\Gamma$ nur bedeutet, dass ein kommutatives Monoid vorliegt, ist beispielsweise auch ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ ein Modell für ${}\Gamma$. Innerhalb der rationalen Zahlen besitzt aber jede Zahl eine Hälfte.

Zur gelösten Aufgabe