Repräsentierungen/Gerade Zahlen/Schwach/Aufgabe/Lösung

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Wir zeigen zuerst die schwache Repräsentierbarkeit, dass also für alle die Zugehörigkeit genau dann vorliegt, wenn die Ableitbarkeit gilt.

Wenn eine gerade natürliche Zahl ist, so ist

wobei wir die in die zwei gleichgroßen Häften aufgeteilt haben. Da in die Assoziativität und Kommutativität ableitbar ist (was auch der Grund dafür ist, dass wir in der Darstellung von als Summe von keine Klammerung festlegen müssen), ist auch

wobei und Abkürzungen für Einsersummen sind. Aufgrund der Existenzeinführung im Sukzedens ist

und mit Modus Ponens auch

also

Wenn ungerade ist, so ist definitiv nicht

da wegen dies auch in gelten würde, was aber nicht der Fall ist.

Es liegt aber keine starke Repräsentierbarkeit vor. In diesem Fall würde nämlich für ungerade die Ableitbarkeit

gelten. Dies würde dann in jedem Modell, das erfüllt, gelten. Da die Gültigkeit von nur bedeutet, dass ein kommutatives Monoid vorliegt, ist beispielsweise auch ein Modell für . Innerhalb der rationalen Zahlen besitzt aber jede Zahl eine Hälfte.
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