Restklassenkörper/Z/Zyklisch/Quadratrest/Bemerkung

Wenn zu einer Primzahl ${}p$ eine primitive Einheit ${}g\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ vorliegt, so hat man einen Gruppenisomorphismus

${\left(\mathbb {Z} /(p-1),0,+\right)}\longrightarrow {\left({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },1,\cdot \right)},\,i\longmapsto g^{i}.$

Dabei entsprechen die Quadrate rechts denjenigen Elementen links, die ein Vielfaches der ${}2$ sind. Bei ${}p$ ungerade besitzt die Hälfte der Elemente links diese Eigenschaft. Insbesondere ist ein Element ${}k\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ genau dann ein Quadratrest, wenn es von der Form

${}k=g^{2j}\,$

ist.