Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe/Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}89=3\cdot 25+14\,,$

${}25=1\cdot 14+11\,,$

${}14=1\cdot 11+3\,,$

${}11=3\cdot 3+2\,,$

${}3=1\cdot 2+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=3-1\cdot 2\\&=3-1\cdot (11-3\cdot 3)\\&=4\cdot 3-1\cdot 11\\&=4\cdot (14-1\cdot 11)-1\cdot 11\\&=4\cdot 14-5\cdot 11\\&=4\cdot 14-5\cdot (25-1\cdot 14)\\&=9\cdot 14-5\cdot 25\\&=9\cdot (89-3\cdot 25)-5\cdot 25\\&=9\cdot 89-32\cdot 25.\end{aligned}}$

Daher ist

${}-32=57\,$

das inverse Element zu ${}25$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$.

Zur gelösten Aufgabe