Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe/Lösung

Da ${}x$ eine Einheit ist, gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}nx=1\mod p$. Damit durchlaufen die Vielfachen von ${}x$ die ganze Gruppe ${}\mathbb {Z} /(p)$, d.h. ${}x$ ist ein (additiver) Erzeuger dieser Gruppe. Damit ist die additive Ordung von ${}x$ genau ${}p$. Da die Einheitengruppe ${}p-1$ Elemente besitzt, ist die multiplikative Ordnung von ${}x$ kleiner als ${}p$. Damit sind die beiden Ordnungen teilerfremd.

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