Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/p ist zwei/Nicht zyklisch/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung

${\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(2^{r-1})\right)}^{\times }$

ist surjektiv (da genau die ungeraden Elemente die Einheiten sind) und hat als Kern eine Gruppe, die isomorph zu ${}\mathbb {Z} /(2)$ ist. Der Kern besteht also neben ${}1$ aus einem weiteren Element ${}a\in {\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }$, das die Ordnung zwei besitzt. Das Element ${}-1$ wird unter der Abbildung auf ${}-1$ geschickt, und in ${}{\left(\mathbb {Z} /(2^{r-1})\right)}^{\times }$ gilt ${}-1\neq 1$, da ${}r-1\geq 2$ ist. Deshalb gehört ${}-1$ nicht zum Kern und somit ist ${}a\neq -1$ in ${}{\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }$. Also besitzt diese Gruppe zwei verschiedene Elemente der Ordnung zwei. Damit kann die Gruppe nicht zyklisch sein.

Zur bewiesenen Aussage