Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/p ist zwei/Nicht zyklisch/Fakt/Beweis2

Beweis

Bei  ${}r=3$  ist dies eine direkte Berechnung. Generell ist für  ${}r\geq 3$  die Abbildung

${\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(8)\right)}^{\times }$

surjektiv (da genau die ungeraden Elemente die Einheiten sind). Da eine Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe nach Aufgabe wieder zyklisch ist, folgt, dass ${}{\left(\mathbb {Z} /(2^{r})\right)}^{\times }$ nicht zyklisch sein kann.

Zur bewiesenen Aussage