Restklassenring (Z)/mod 17/Jede Ordnung/Aufgabe/Lösung

Da ${}17$ eine Primzahl ist, handelt es sich bei ${}\mathbb {Z} /(17)$ um einen Körper, so dass die Einheitengruppe aus ${}16$ Elementen besteht. Aufgrund des Satzes von Lagrange kommen als Ordnung nur Teiler von ${}16$ in Frage, also ${}1,2,4,8,16$. Aufgrund des Struktursatzes über multiplikative endliche Untergruppen von Körpern ist die Einheitengruppe zyklisch, so dass jede mögliche Ordnung auch auftritt. Wir bestimmen zuerst ein primitives Element, also ein Element der Ordnung ${}16$. Es ist

$2^{1}=2,\,2^{2}=4,\,2^{4}=4^{2}=16=-1,\,2^{8}=1,$

d.h. ${}2$ hat die Ordnung ${}8$ und ist nicht primitiv.

Es ist

$3^{1}=3,\,3^{2}=9,\,3^{4}=9^{2}=81=13=-4,\,3^{8}=(-4)^{2}=16=-1.$

Also ist ${}3$ eine primitive Einheit modulo ${}17$ und hat die Ordnung ${}16$. Daher gilt:

$3^{2}=9{\text{ hat die Ordnung }}8,$

$3^{4}=13{\text{ hat die Ordnung }}4,$

$3^{8}=-1{\text{ hat die Ordnung }}2,$

$1{\text{ hat die Ordnung }}1.$

Eine Untergruppe aus vier Elementen ist die Menge

$\{3^{0},3^{4},3^{8},3^{12}\}=\{1,13,-1=16,-13=4\}.$

Zur gelösten Aufgabe