Restklassenring (Z)/mod 80/3,2,5 hoch 1234567/Aufgabe/Lösung

a) Es ist $3^4=81=1$ und $3$ ist eine Einheit. Daher hängt die Potenz nur von der Restklasse des Exponenten modulo $4$ ab, also

$3^{1234567}=3^{67}=3^7=3^3=27.$

b) Wir verwenden die Isomorphie des chinesischen Restsatzes, also

$\mathbb{Z}/(80)\cong \mathbb{Z}/(16)\times \mathbb{Z}/(5).$

Das Element $2$ entspricht bei dieser Zerlegung dem Paar $(2,2)$. Die Potenz kann man komponentenweise ausrechnen, dabei erhält man vorne $0$, da der Exponent $\ge 4$ ist. Hinten ist $2$ eine Einheit der Ordnung $4$, daher ist in $\mathbb{Z}/(5)$

$2^{1234567}=2^3=3.$

Das Ergebnis ist also das Paar $(0,3)$. Diesem entspricht das Element $48$.

c) Wir verwenden wieder den chinesischen Restsatz, diesmal geht es um das Element $(5,0)$. Die Ordnung von $5$ modulo $16$ ergibt sich aus

$5^2=25=9,5^4=9^2=81=1,$

die Ordnung ist also wieder $4$. Daher ist in $\mathbb{Z}/(16)$

$5^{1234567}=5^3=125=13.$

Dem Paar $(13,0)$ entspricht das Element $45$.

Zur gelösten Aufgabe