Restklassenring (Z)/mod 80/3,2,5 hoch 1234567/Aufgabe/Lösung

(1). Es ist ${}3^{4}=81=1$ und ${}3$ ist eine Einheit. Daher hängt die Potenz nur von der Restklasse des Exponenten modulo ${}4$ ab, also

${}3^{1234567}=3^{67}=3^{7}=3^{3}=27\,.$

(2). Wir verwenden die Isomorphie des chinesischen Restsatzes, also

$\mathbb {Z} /(80)\cong \mathbb {Z} /(16)\times \mathbb {Z} /(5).$

Das Element ${}2$ entspricht bei dieser Zerlegung dem Paar ${}(2,2)$. Die Potenz kann man komponentenweise ausrechnen, dabei erhält man vorne ${}0$, da der Exponent ${}\geq 4$ ist. Hinten ist ${}2$ eine Einheit der Ordnung ${}4$, daher ist in ${}\mathbb {Z} /(5)$

${}2^{1234567}=2^{3}=3\,.$

Das Ergebnis ist also das Paar ${}(0,3)$. Diesem entspricht das Element ${}48$.

(3). Wir verwenden wieder den chinesischen Restsatz, diesmal geht es um das Element ${}(5,0)$. Die Ordnung von ${}5$ modulo ${}16$ ergibt sich aus

$5^{2}=25=9,\,5^{4}=9^{2}=81=1,$

die Ordnung ist also wieder ${}4$. Daher ist in ${}\mathbb {Z} /(16)$

${}5^{1234567}=5^{3}=125=13\,.$

Dem Paar ${}(13,0)$ entspricht das Element ${}45$.

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